1.2. ЗАДАЧИ, КИНЕМАТИКА. Траектория и координаты. Путь и перемещение.

Задача 5.

Задача 5.

Тело переместилось из точки $A$ с координатами $(-4; 3)$ в точку $B$ с координатами $(4; 3)$, а затем — в точку $C$ с координатами $(4; -3)$.
Определить его путь и перемещение $\Delta\vec{r}$.

Решение задачи 5.

Решение

Проведём оси координат $OX$ и $OY$ и обозначим точки $A$, $B$, $C$.
Путь $S$ равен сумме длин отрезков $AB$ и $BC$:

Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$ — длина вектора $AC$, вычисляем по теореме Пифагора:

Угол $\varphi$ между вектором перемещения $\Delta\vec{r}$ и осью $OX$:

Ответ:
$S = 14~\text{см}$, $|\Delta\vec{r}| = 10~\text{см}$, $\varphi = 37^\circ$

Задача 6.

Задача 6.

Мяч упал с высоты $h_1 = 3$ м и после удара о землю подпрыгнул на высоту $h_2 = 2$ м.

Определить его путь $S$ и модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$.

Решение задачи 6.

Решение

Путь $S$ равен сумме высот $h_1$ и $h_2$:

Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$ равен разности высот:

Ответ: $S = 5~\text{м}$, $|\Delta\vec{r}| = 1~\text{м}$

Задача 7.

Задача 7.

Определить путь $S$ и перемещение $\Delta\vec{r}$ конца минутной стрелки длиной $l = 2~\text{см}$ за $t = 15~\text{мин}$.

Решение задачи 7.

Решение

Путь $S$ равен длине дуги $ab$, составляющей четверть окружности радиусом $l$:

Подставим числа:

Перемещение $\Delta\vec{r}$ — вектор из точки $a$ в точку $b$. По теореме Пифагора его модуль:

Поскольку $\sqrt{2} \approx 1{,}4$, то:

Так как треугольник $aOb$ равнобедренный, угол между вектором $\Delta\vec{r}$ и горизонтальной стрелкой $\varphi = 45^\circ$.

Ответ: $S = 3{,}14~\text{см}$, $|\Delta\vec{r}| = 2{,}8~\text{см}$, $\varphi = 45^\circ$.

Задача 8.

Задача 8

Постройте графики движений двух тел, описываемых уравнениями $x_1 = (-1 + 2t)$ см и $x_2 = (2 + t)$ см, в одной системе координат и по графикам определите, через сколько времени с момента: $t = 0$ координата этих тел станет одинаковой и какой она будет.

Время $t$ выразить в секундах, координату $x$ — в сантиметрах.

Решение задачи 8. Этап 1.

Решение

Вычислим значения $x_1$ и $x_2$ для разных $t$ по формулам:

• $x_1 = -1 + 2t$
• $x_2 = 2 + t$

Решение задачи 8. Этап 2.

Обозначим точки и построим графики.

Искомые координата и время соответствуют точке пересечения графиков.

Ответ: $t = 3$ с, $x = 5$ см.