1.1. КИНЕМАТИКА. Траектория и координаты. Путь и перемещение.

Задача 1.

Задача 1

Часовой охраняет объект, огороженный квадратным забором $ABCD$ (см. рисунок), обходя его по периметру.

Чему будут равны его путь и перемещение, если он из точки $A$ перейдёт в точку $B$, затем в точку $C$, затем в точку $D$, после чего вернётся в точку $A$?
Длина стороны квадрата — $a$.

Решение задачи 1. Этап 1.

1) Перемещение на первом участке

Часовой переходит из точки $A$ в точку $B$ вдоль стороны квадрата.
Вектор перемещения $\Delta\vec{r}_1$ направлен из $A$ в $B$, его модуль равен длине стороны квадрата: $|\Delta\vec{r}_1| = S_1 = a$

Решение задачи 1. Этап 2.

2) Перемещение на втором участке

Часовой перешёл из точки $A$ в точку $C$ (через $B$).

Вектор его перемещения $\Delta\vec{r}_2$ направлен из точки $A$ в точку $C$.

В этом случае путь $S_2$ равен сумме длин сторон $AB$ и $BC$:

Модуль вектора перемещения $|\Delta\vec{r}_2|$ равен длине диагонали $AC$:

Поскольку $\sqrt{2} \approx 1{,}4$, то

Решение задачи 1. Этап 3.

3) Перемещение на третьем участке

Часовой перешёл из точки $A$ в точку $D$ (через $B$ и $C$).

Пройденный им путь $S_3$ в этом случае равен сумме длин трёх сторон $AB$, $BC$ и $CD$:

Модуль вектора перемещения $|\Delta\vec{r}_3|$ равен длине стороны $AD$ и направлен из точки $A$ в точку $D$:

Решение задачи 1. Этап 4.

4) Полный обход периметра

Часовой вернулся в точку $A$, полностью обойдя забор по периметру.

Пройденный им путь $S_4$ равен длине периметра $ABCD$:

а перемещение равно нулю:

Задача 2.

Задача 2.

Спортсмен бросил мяч с высоты $h = 1{,}5$ м и поймал его на той же высоте.

Чему равны путь $S$ и перемещение $\Delta\vec{r}$ мяча?

Решение задачи 2.

Путь, пройденный мячом при падении и подскоке, равен удвоенной высоте $h$:

а перемещение равно нулю:

Задача 3.

Задача 3.

Часовая стрелка показывает 12 ч.
Какой путь пройдёт конец стрелки и какое перемещение он совершит, когда стрелка будет показывать 6 ч вечера или 9 ч вечера?

Длина стрелки $R$.

Решение задачи 3. Этап 1.

1) Перемещение при переходе с 12 до 6 часов

Путь $S_1$, пройденный концом стрелки с 12 ч до 6 ч вечера, равен половине длины окружности радиусом $R$.
Поскольку длина окружности равна $2\pi R$, значит, путь:

Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_1|$ в этом случае равен удвоенной длине часовой стрелки:

Вектор $\Delta\vec{r}_1$ направлен вниз.

Решение задачи 3. Этап 2.

2) Перемещение при переходе с 12 до 9 часов

Путь $S_2$, пройденный концом стрелки с 12 ч до 9 ч вечера, равен $\dfrac{3}{4}$ длины окружности:

Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_2|$ находим по теореме Пифагора:

Вектор перемещения направлен к цифре 9 от цифры 12.

Задача 4.

Задача 4.

Мяч скатился по трём ступенькам лестницы с высоты $H = 1{,}2$ м. Высота каждой ступеньки равна её ширине $h$.
Угол наклона лестницы к горизонту $\alpha = 45^\circ$.

Чему равны путь $S$ и перемещение $\Delta\vec{r}$ мяча?

Решение задачи 4.

Решение

Путь, пройденный мячом (без прыжков), равен утроенной сумме высоты и ширины одной ступени.
Поскольку $H = 1{,}2$ м — это высота трёх ступеней, то одна ступень: $h = \dfrac{H}{3}$.

Путь:

Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$ равен гипотенузе треугольника с катетом $H$ и углом $\alpha$:

При $\alpha = 45^\circ$:

Вектор перемещения направлен под углом $45^\circ$ к основанию лестницы.

Путь и перемещение. Определения.

 Путь - длина траектории (пройденное расстояние), скалярная величина.

 Перемещение - вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением и направленный к конечному положению.